OK！我们已经初步建立了对于级数的认识，并且了解了有关级数的一般性质。接下来，我们就要对级数进行更为深入的探讨，尤其是关于级数的敛散性。

很多时候，我们对级数的敛散性的判定要比计算出级数和的具体结果要更重要一些，因为有些问题的解决对于和的数值依赖性并不强；退一步讲，如果想要求一个级数的和，我们首先要做的，就是去判断这个级数到底收不收敛，能不能求出一个稳定的和；更何况，对于一些级数，通过直接寻求部分和序列的通项较为麻烦，但是有了一些有关收敛性的结论，我们可以灵活利用这些结论去巧妙求解级数和。所以，我们十分有必要，对级数敛散性的判定深入研究一下。

(资料图片)

级数敛散性的判别，与一般数列敛散性的判定略有不同。这主要是因为，级数的敛散性，本质上是部分和序列的敛散性；但是多数时候，我们并不能够求出部分和序列的通项公式，这就导致我们没办法直观得到敛散性的结论，而是需要设法通过级数各项本身的性质来反映级数的敛散性。于是，就有了各种各样的判别法。

我们首先来针对一类特殊的级数——正项级数来研究，进而推广到任意项级数去。

Chapter  Fourteen  数项级数

14.2  正项级数的比较判别法

我们先来介绍一下什么是正项级数：

对于级数，如果满足：

这与它的名称符合的很好。

我们先从一般数列的基本判别定理出发，来看对于正项级数而言又有什么样的基本结论。

我们知道，单调有界数列一定收敛。对于正项级数而言，由于，所以部分和序列是单调递增的。所以，只要正项级数的部分和序列有界，那么正项级数就一定会收敛。于是，我们有：

正项级数收敛的充要条件是其部分和序列有界。

而对于数列极限是否存在的判别方法中，还有一个比较重要的定理，就是迫敛定理（两边夹法则）。对于正项级数和，如果满足：

则显然有：

（1）若收敛，则也收敛；

（2）若发散，则也发散；

更进一步，我们可以将条件改为：

也可以得到结论。

我们可以看到，尽管与迫敛定理的形式并不完全一致，但是这种比较的思想却可以为我们所用。事实上，对于结论（1），由上一个定理，我们可以知道，如果收敛，那么一定有：

其中，S为级数的和。这样，我们就能得到级数的部分和序列是有界的，从而再利用上一个定理，完成了结论的证明。对于结论（2），证明也类似。

这一判别法称为比较判别法。为了便于应用，我们很多时候采取以下形式：

设和是两个正项级数，若：

则有：

（1）若，则二者同敛散；

（2）若，则当收敛时，也收敛；

（3）若，则当发散时，也发散；

这一结论称为比较判别法的极限形式。

（似乎从数学史的角度来看，这一判别法也来自于Cauchy，因此在名称上可以加一个Cauchy的名字~我们后面会看到，Cauchy提出了很多实用的判别法，不愧为大数学家！）

我们在面积原理那一篇专栏（【学不明白的数学分析（二十八）】）当中曾经介绍过：

若时，是一个非负的递减函数，则极限：

且极限值介于0与f(m)之间。更进一步，若：

则有：

这衍生出了下面这个判别法：

若时，是一个非负的递减函数，则级数与积分同敛散。

（我们似乎没有介绍有关反常积分的一些内容。对于上面这个积分，大家可以简单地理解为是变上限积分函数的极限，至少对于目前我们对函数的限制来说，这一点是成立的。）

这个判别法称为Cauchy积分判别法。

Chapter  Fourteen  数项级数

14.3  正项级数的其他判别法

我们在中学阶段所学习到的数列基本知识仅限于两类特殊的数列——等差数列和等比数列，以及它们的结合。这两类数列看起来似乎没什么特别的，但是却十分重要。我们在中学阶段学习过这两类数列的求和公式，得到的实际上就是部分和序列的通项公式。对于等差数列，由于其通项不会趋近于零（极特殊例子除外），因此对于我们研究级数敛散性没什么帮助。而等比数列就不一样。

我们在上一篇专栏的思考里其实就有所涉及，当等比数列的公比满足时，级数一定收敛。以此作为标尺，如果正项级数的通项满足：

那么就能得到：

由比较判别法，我们就能得到级数收敛。反过来，如果：

则显然，不是无穷小，故级数发散。

这个判别法称为Cauchy根式判别法。与比较判别法类似，这个判别法也有极限形式：

设是一正项级数。若：

（1）当时，级数收敛；

（2）当时，级数发散；

（3）当时，无法判断。

（Cauchy根式判别法的极限形式）

考虑到等比级数实际上满足：

若对作如下形式的变换：

如果：

在n充分大时成立，则根式显然满足Cauchy根式判别法中级数收敛的条件，因为：

所以：

于是，级数收敛。反之，如果：

则根式满足Cauchy根式判别法中级数发散的条件，故级数发散。这便是D'Alembert比值判别法。

既然，这一判别法可以由Cauchy根式判别法推得，那么它也有相应的极限形式：

设为正项级数。有：

（1）若：

则级数收敛；

（2）若：

则级数发散；

（3）若：

则无法判断。

（D'Alembert比值判别法的极限形式）

可以理解，D'Alembert比值判别法可以判断的范围是Cauchy根式判别法可以判断的范围的子集。能够用D'Alembert比值判别法判断的，一定可以用Cauchy根式判别法判断；但是反之就不一定。具体使用哪一种判别法，就要看操作的简便性了。

上述两个判别法本质上是一样的，都是以等比级数（我们下面有时候也会称之为几何级数，二者只有称呼上的不同）为标尺比较出来的判别法。对于收敛速度比几何级数慢的级数，这两种判别法就失效了。而几何级数的收敛速度是很快的，因此我们有必要寻找适用范围更为广泛一些的判别法。

（对于收敛速度这个概念，其实没有什么明确的定义，但是我们很容易有一个直观的印象。简单来讲，就是说，对于给定的相同的阈值，不同的级数在与极限值相差在小于这一阈值时，所需要的最小的N不同，这个N就可以用来标记收敛速度。N越大，说明收敛的越慢；反之，则说明收敛的很快。几何级数的公比比1小的越多，收敛速度越快；一般而言，几何级数的收敛速度是一般的级数所不能比的。）

从上述两个判别法来看，若想拓宽新的判别法的判定范围，就要从极限值（或者说是上下极限值）等于1的情况入手，不断地从这种情况中分离出一些情况来进行判断。

另一个比较容易认知到的级数是：

其满足：

所以这个级数恰好便于我们作为新的标尺，来分离出上述两种判别法所不能判定的情况中的一部分，用以提出新的判别法。

由于：

于是，如果有：

那么就得到：

以及：

这说明，数列：

单调递减且有下界，因此一定有非负且有限的极限。由比较判别法的极限形式，则此时级数一定收敛。如果不等号反向，则此数列要么存在有限的非负极限，要么趋向于正无穷，则由比较判别法的极限形式，如果级数发散，那么级数发散。于是，我们就能得到：

设为一正项级数。

（1）若：

则级数收敛；

（2）若：

则级数发散。

这一判别法称为Raabe判别法。

由于思想类似，因此不难理解，这一判别法也有相应的极限形式：

设正项级数满足：

或者说满足：

则有：

（1）

（2）

（3）

（Raabe判别法的极限形式）

我们最后给出一种判别法，可以帮助我们解决更多的问题：

设正项级数满足：

则有：

（1）

（2）

（Gauss判别法）

思考：

证明比较判别法的极限形式；

证明Cauchy积分判别法；

证明Cauchy根式判别法的极限形式；

证明D'Alembert判别法的极限形式；

证明Raabe判别法的极限形式；

证明Gauss判别法；

判断下列级数的敛散性

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

证明：若级数均收敛，则级数也均收敛；

证明：级数与同敛散，其中是一非负递减数列；

（Cauchy定理）

证明：对于任意收敛的正项级数，都存在一个收敛的正项级数，使得：

最後の最後に、ありがとうございました！